Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：過點(diǎn)C作CD⊥CP，使CD=CP=2，連接CD，PD，AD，根據(jù)AC=BC，由同角的余角相等得到夾角相等，利用SAS的三角形ACD與三角形CBP全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到AD=BP=1，∠ADC=∠BPC，在直角三角形DCP中，利用勾股定理求出DP的長，由AD以及AP的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ADP為直角三角形，由∠4+∠5求出∠ADC度數(shù)，即為∠BPC度數(shù)．

解答：解：過點(diǎn)C作CD⊥CP，使CD=CP=2，連接CD，PD，AD，
∵∠1+∠2=∠ACB=90°=∠DCP=∠3+∠2，
∴∠1=∠3，
在△CAD和△CBP中，

CD=CP ∠3=∠1 AC=BC

，
∴△CAD≌△CBP（SAS），
∴DA=PB=1，∠ADC=∠BPC，
在等腰Rt△DCP中，∠4=45°，
根據(jù)勾股定理得：DP²=CD²+CP²=2²+2²=8，
∵DP²+DA²=8+1=9，AP²=3²=9，
∴DP²+DA²=AP²，
∴△ADP為直角三角形，即∠5=90°，
則∠BPC=∠ADC=∠4+∠5=45°+90°=135°．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．