Question

如圖，△ABC內接于⊙O，直徑BD交AC于E，過O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．
（1）求證：OF•DE=OE•2OH；
（2）若⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，求陰影部分的面積．（結果保留根號）

Answer 1

（1）證明：∵BD是直徑，∴∠DAB=90°。
∵FG⊥AB，∴DA∥FO�！唷鱂OE∽△ADE。
∴，即OF•DE=OE•AD。
∵O是BD的中點，DA∥OH，∴AD=2OH�！郞F•DE=OE•2OH。
（2）解：∵⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6。
代入（1）中，得AD=12�！郞H=AD=6。
在Rt△ABC中，OB=2OH，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°。
∴BH=BO•sin60°=12×。
∴S_陰影=S_扇形GOB﹣S_△OHB=。

解析