Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=60°，D為BC上一點，∠ADC=60°，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE，CF相交于點G．
（1）求證：△AFG≌△CFD；
（2）若DC=2，AF=，求線段EG的長．

Answer 1

證明：（1）∵∠ABC=45°，∠BAC=60°，
∴∠ADB=120°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠DAC=45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC=∠CFD=90°，∠ACF=∠DAC=45°，
∴AF=CF，
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠CDF+∠DCF=∠CGE+∠DCF=90°，
∴∠CDF=∠CGE，
又∵∠CGE=∠AGF，
∴∠AGF=∠CDF，
∵在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS）；

（2）在Rt△CFD中，∠CFD=90°，∠FCD=30°，
∴DF=CD=1，
∴FG=DF=1，
又∵△AFG≌△CFD，
∴CF=AF=，
∴CG=CF-FG=-1，在Rt△CGE中，∠AEC=90°，∠FCD=30°，
∴EG=CG=．
分析：（1）根據(jù)題意分析DF和FG分別放在三角形ADE和三角形CDF中，證明三角形ADE和三角形CDF全等即可得到DF=FG，全等的方法是，由AE⊥BC和CF⊥AD得到角CFD等于角AED，角ADC為公共角，根據(jù)∠ABC=45°，∠ADC=60°，利用三角形的外角的性質(zhì)得到角BAD等于15°，由∠BAC=60°得到角FAC等于45°，所以三角形AFC為等腰直角三角形，得到AF等于CF，即可得到兩三角形全等；
（2）在三角形CDF中，因為∠FDC=60°，∠CFD=90°，所以得到∠DCF=30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到FD等于CD的一半，由第一問的結(jié)論可知FG等于DF都等于1，由全等得到CF等于AF都等于利用CF減FG即可求出CG，所以EG等于CG的一半即可求出．
點評：此題考查學(xué)生掌握三角形全等的證明方法，靈活運(yùn)用直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半化簡求值，是一道綜合題．