Question

關(guān)于x的一元二次方程x²-3（m+1）x+3m+2=0．
（1）求證：無論m為何值時(shí)，方程總有一個(gè)根大于0；
（2）若函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值；
（3）在（2）的條件下，將函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2的圖象沿直線x=2翻折，得到新的函數(shù)圖象G．在x，y軸上分別有點(diǎn)P（t，0），Q（0，2t），其中t＞0，當(dāng)線段PQ與函數(shù)圖象G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）先解方程求得x₁=1，x₁=3m+2，再根據(jù)x₁=1＞0，即可得出無論m為何值時(shí)，方程總有一個(gè)根大于0；
（2）根據(jù)函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，可得出判別式△=0，從而求出m的值；
（3）依題意，得出沿直線x=2翻折后的解析式y(tǒng)=（x-3）²=x²-6x+9，求出與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求得直線PQ的解析式；分兩種情況討論：①當(dāng)線段PQ與函數(shù)圖象相切時(shí)，△=16-4（9-2t）=0，求得t；②當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)（0，9）時(shí)，2t=9，再求得t；綜上：當(dāng)t=

5

2

或t=

9

2

時(shí)，線段PQ與函數(shù)圖象G只有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答：解：（1）解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0，得x₁=1，x₁=3m+2，
∵x₁=1＞0
∴無論m為何值時(shí)，方程總有一個(gè)根大于0；  
（2）∵若函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=9（m+1）²-4（3m+2）=0，
∴m=-

1

3

，
（3）當(dāng)m=-

1

3

時(shí)，函數(shù)y=x²-2x+1=（x-1）²，
依題意，沿直線x=2翻折后的解析式為：y=（x-3）²=x²-6x+9，
可得，y=（x-3）²=x²-6x+9與x，y軸的交點(diǎn)分別為（3，0），（0，9）．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
由P（t，0），Q（0，2t）．
∴直線PQ的解析式為y=-2x+2t，
①當(dāng)線段PQ與函數(shù)圖象相切時(shí)，-2x+2t=x²-6x+9△=16-4（9-2t）=0
∴t=

5

2

②當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)（0，9）時(shí)，2t=9
∴t=

9

2

綜上：當(dāng)t=

5

2

或t=

9

2

時(shí)，線段PQ與函數(shù)圖象G只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，要掌握各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系．