Question

（2013•福田區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，圓D與y軸相切于點C（0，4），與x軸相交于A、B兩點，且AB=6．
（1）則D點的坐標是 （

5

，

4

），圓的半徑為

5

；
（2）sin∠ACB=

3

5

；經(jīng)過C、A、B三點的拋物線的解析式

y=

1

4

x²-

5

2

x+4

；
（3）設(shè)拋物線的頂點為F，證明直線FA與圓D相切；
（4）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點N，使△CBN面積最大，最大值是多少，并求出N點坐標．

Answer 1

分析：（1）連接DC，則DC⊥y軸，過點D作DE⊥AB于點E，則根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3，連接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圓的半徑，也可得出點D的坐標；
（2）根據(jù)S_△ABC=

1

2

AC×BCsin∠ACB=

1

2

AB×CO，可得出sin∠ACB，利用待定系數(shù)法可求出經(jīng)過C、A、B三點的拋物線的解析式．
（3）因為D為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理證明∠DAF=90°即可．
（4）設(shè)存在點N，過點N作NP與y軸平行，交BC于點P，求出直線BC的解析式，設(shè)點N坐標（a，

1

4

a2-

5

2

a+4），則可得點P的坐標為（a，-

1

2

a+4），從而根據(jù)S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN，表示出△BCN的面積，利用配方法可確定最大值，繼而可得出點N的坐標．

解答：（1）解：連接DC，則DC⊥y軸，

過點D作DE⊥AB于點E，則DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD=

DE2+AE2

=

42+32

=5，
故可得點D的坐標為（5，4），圓的半徑為5；

（2）解：在Rt△AOC中，AC=

OC2+OA2

=

22+42

=2

5

，
在Rt△BOC中，BC=

OC2+OB2

=

42+82

=5

5

，
∵S_△ABC=

1

2

AC×BCsin∠ACB=

1

2

AB×CO，
∴sin∠ACB=

24

2 5 ×4 5

=

3

5

；
設(shè)經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，
將三點坐標代入可得：

4a+2b+c=0 64a+8b+c=0 c=4

，
解得：

a= 1 4 b=- 5 2 c=4

，
故經(jīng)過C、A、B三點的拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-

5

2

x+4．

（3）證明：因為D為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，
拋物線頂點坐標：F（5，-

9

4

），DF=4+

9

4

=

25

4

，AF=

32+( 9 4 )2

=

15

4

，
∵DA²+AF²=5²+（

15

4

）²=

625

16

=（

25

4

）²=DF²，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圓D．

（4）解：存在點N，使△CBN面積最大．
根據(jù)點B及點C的坐標可得：直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+4，
設(shè)N點坐標（a，

1

4

a2-

5

2

a+4），過點N作NP與y軸平行，交BC于點P，

可得P點坐標為（a，-

1

2

a+4），
則NP=-

1

2

a+4-（

1

4

a2-

5

2

a+4）=-

1

4

a2+2a
故S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN=

1

2

×PN×OH+

1

2

×PN×BH=

1

2

PN×BO=

1

2

×8×（-

1

4

a2+2a）=16-（a-4）²
當a=4時，S_△BCN最大，最大值為16，此時，N（4，-2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)及圓的綜合，涉及了垂徑定理、拋物線求二次函數(shù)解析式、切線的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識點較多，同學們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，關(guān)鍵還是基礎(chǔ)知識的掌握，要能將所學知識融會貫通，第四問解法不止一種，同學們可以積極探索其他解法．