Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒5cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了t秒，
（1）直角梯形ABCD的面積為

 

cm²．
（2）當(dāng)t=

 

秒時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（3）當(dāng)t=

 

秒時(shí)，AQ=DC；
（4）連接DQ，用含t的代數(shù)式表示△DQC的面積為

 

；
（5）是否存在t，使得P點(diǎn)在線段DC上，且PQ⊥DC（如圖2所示）？若存在，求出此時(shí)t的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）作DM⊥BC于點(diǎn)M，在直角△CDM中，根據(jù)勾股定理即可求得CM，得到下底邊的長(zhǎng)，根據(jù)梯形面積公式即可求解．
（2）當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形．
（3）在直角△ABQ中利用勾股定理即可求解．
（4）利用三角形的面積公式列出關(guān)系式．
（5）連接QD，根據(jù)S_△DQC=S_△DQC，即可求解．

解答：解：（1）如圖1，作DM⊥BC于點(diǎn)M．則四邊形ABMD是平行四邊形
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM=

CD2-DM2

=8cm
∴BC=BM+CM=4+8=12cm
∴直角梯形ABCD的面積為

1

2

（AD+BC）•AB=48cm²；
故答案是：48；

（2）當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形
即4-4t=5t解得t=

4

9

；
故答案是：

4

9

；

（3）BQ=12-5t
在直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ²
即6²+（12-5t）²=10²
解得t=

4

5

；
故答案是：

4

5

；

（4）S_△DQC=

1

2

QC•DM=15t；
故答案是：S_△DQC=15t；

（5）存在，t=

7

4

．
如圖2，連接QD，則CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，則2S_△DQC=CQ×AB=CD×QP
得QP=3t
在Rt△QPC中
QP²+PC²=CQ²，即（3t）²+（14-4t）²=（5t）²
解之得t=

7

4

，則BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t=

35

4

＜12
所以，存在t，使得P點(diǎn)在線段DC上，且PQ⊥DC．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平行四邊形的判定方法，梯形的計(jì)算，梯形問(wèn)題一般通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形的問(wèn)題．