Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+2x+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）且與y軸交與點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=l上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）有這樣的點(diǎn)D能使△ACD為直角三角形嗎？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）如圖，連接BC交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)D，連接AD，則AD=BD，
此時(shí)AD+CD=BD+CD=BC最小．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y=-x+3，
令x=1，y=-1+3=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；

（3）有這樣的點(diǎn)D能使△ACD為直角三角形，理由如下：
如果△ACD為直角三角形，可分三種情況討論：
①當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．
在△CED與△AOC中，
∵∠DCE=∠CAO=90°-∠OCA，∠DEC=∠COA=90°，
∴△CED∽△AOC，
∴=，即=，
∴CE=，
∴OE=OC-CE=3-=，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）；
②當(dāng)∠CAD=90°時(shí)，如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=l與x軸交于點(diǎn)F．
在△DFA與△AOC中，
∵∠DAF=∠ACO=90°-∠FAC，∠DFA=∠AOC=90°，
∴△DFA∽△AOC，
∴=，即=，
∴DF=，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-）；
③當(dāng)∠CDA=90°時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，設(shè)D的坐標(biāo)為（1，m）．
在△CGD與△AFD中，
∵∠CDG=∠ADF=90°-∠ADG，∠CGD=∠AFD=90°，
∴△CGD∽△AFD，
∴=，即=，
整理，得m²-3m+2=0，
解得m=1或m=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）或（1，2）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）或（1，-）或（1，1）或（1，2）．
分析：（1）將A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+2x+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）由于A與B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸得出，所以連接BC交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)D，則此時(shí)AD+CD最�。�運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，令x=1，求出y的值，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）△ACD為直角三角形時(shí)，分三種情況討論：①∠ACD=90°；②∠CAD=90°；③∠CDA=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．在一個(gè)三角形中沒(méi)有明確哪一個(gè)角是直角時(shí)，應(yīng)分情況討論．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．