Question

11．已知：如圖，正方形ABCD中，E為BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)EC．
（1）求證：△ECF∽△EGC；
（2）若EF=$\sqrt{2}$，F(xiàn)G=$\sqrt{8}$，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)正方形性質(zhì)證△ADE≌△CDE得∠DAE=∠DCE，進(jìn)而根據(jù)∠DAE=∠G可得∠DCE=∠G，由∠CEF=∠GEC可得△ECF∽△EGC；
（2）由△ECF∽△EGC知$\frac{EF}{EC}=\frac{EC}{EG}$，可得EC的值，根據(jù)△ADE≌△CDE得AE=CE．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE，
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠G，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC；

（2）∵△ECF∽△EGC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{EC}{EG}$，即$\frac{\sqrt{2}}{EC}=\frac{EC}{\sqrt{2}+\sqrt{8}}$，
解得：EC=6，
由（1）知△ADE≌△CDE，
∴AE=CE=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．