Question

如圖，△ABC中，∠B=90°，0為AB上一點，以0為圓心，以OB為半徑的圓切AC于D點，交AB于E點，AD=2，AE=1，求CD．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：連接OD、DE、DB，可證明△ADE∽△ABD，即可得出

AD

AB

=

AE

AD

，設⊙O半徑為r，即可得出r的值，再根據切線長定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的長即可．

解答：解：連接OD、DE、DB，設⊙O半徑為r，
∵CD為⊙O切線，∴∠ODA=90°，
∵BE為⊙O直徑，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴

AD

AB

=

AE

AD

，
∵AD=2，AE=1，
∴

2

1+2r

=

1

2

，
∴r=

3

2

，
∵∠B=90°，∴CB為⊙O切線，
∴CD=CB，
∴CB²+AB²=AC²，
∴CD²+4²=（2+CD）²，
∴CD=3．
答：CD的長度為3．

點評：本題考查了切線的性質，以及相似三角形、勾股定理和切線長定理，要注意知識點之間的綜合運用．