Question

1．已知三角形兩邊長分別是3和4，第二邊長是方程（2x-11）²-（x-1）²=0的解．
（1）求出第三邊長；
（2）求出三角形周長；
（3）判斷這個三角形的形狀；
（4）求出它的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平方差公式分解因式，再解方程，由三角形三邊關(guān)系確定第三邊為4；
（2）計算三邊的和即可；
（3）有兩邊相等，則是等腰三角形
（4）作高線，求高AD的長，代入面積公式可求得結(jié)果．

解答 解：（1）（2x-11）²-（x-1）²=0，
（2x-11+x-1）（2x-11-x+1）=0，
（3x-12）（x-10）=0，
x=4或10，
∵三角形兩邊長分別是3和4，
∴1＜第三邊長＜7，
∴x=10不符合題意，舍去，
∴第三邊長為4；
（2）三角形周長=3+4+4=11；
（3）∵三角形的三邊長分別為3、4、4，
∴此三角形是等腰三角形；
（4）如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，
∵AB=AC=4，
∴DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{55}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{55}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{55}}{4}$，
答：它的面積是$\frac{3\sqrt{55}}{4}$．

點評 本題考查了利用因式分解法解一元二次方程和三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；在解方程時，可以利用平方差公式分解因式求解，也可以利用完全平方公式展開化為一般形式后，再解方程．