Question

14．△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，以AB、BC、AC為邊作正方形ABED、BCGK、ACHF，過點C作CL⊥DE交AB于點M，交DE于點L，連接CD、BF．求證：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 先判斷出點H，C，B在同一條直線上，再求出三角形FAB的面積，從而判斷出△FAB≌△CAD即可得出三角形CAD的面積是矩形ADLM的面積的一半，即矩形的面積等于a²，同理得出矩形MLEB的面積等于b²，最后用兩個矩形的面積之和等于邊長為c的正方形的面積，化簡即可．

解答 證明：做三個邊長分別以a，b，c的正方形，把它們拼成如圖所示的形狀，
連接BF，CD，過點C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L，
∵四邊形ACHF是正方形，
∴∠ACH=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH+∠ACB=180°，
∴H，C，B在同一條直線上，
∴S_△FAB=S_梯形ABHF-S_△BHF=$\frac{1}{2}$a[a+（a+b）]-$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$a²，
∵四邊形ABED，ACHF是正方形，
∴AF=AC，AB=AD，∠CAF=∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△CAD中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAB=∠CAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△CAD，
∴S_△CAD=S_△FAB=$\frac{1}{2}$a²，
同理：S_△CAD=$\frac{1}{2}$S_矩形ADLM，
∴S_矩形ADLM=a²，
同理：S_矩形MLEB=b²，
∵S_矩形ADLM+S_矩形MLEB=S_{正方形ADEB}，
∴a²+b²=c²．

點評 此題是正方形的性質(zhì)，主要考查了正方形的性質(zhì)，面積公式，梯形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是得出矩形ADLM面積等于a²．