Question

小惠在證明“兩條平行弦所夾的弧相等”時(shí)，畫(huà)了圖1并連結(jié)半徑OC，OD（即：AB為⊙O的直徑，CD為弦且CD∥AB，求證：

AC

=

BD

）
（1）請(qǐng)按圖1幫小惠證明當(dāng)一條弦為直徑時(shí)結(jié)論成立；
（2）顯然，小惠只證了一條弦為直徑的情形，失去了一般性．請(qǐng)你在下面兩個(gè)備用圖中畫(huà)出其它情形，并嘗試運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，直接利用小惠的結(jié)論解決這個(gè)問(wèn)題．

Answer 1

分析：（1）欲證明

AC

=

BD

，只需證明

AC

與

BD

所對(duì)的圓心角相等即可；
（2）分類討論：①如備用圖1，當(dāng)平行弦在圓心兩側(cè)．作直徑EF，使EF∥AB．利用（1）中的結(jié)論容易證得

AE

=

BF

，

CE

=

DF

，則

AE

+

CE

=

BF

+

DF

，即

AC

=

BD

；
②如備用圖2，當(dāng)平行弦在圓心一側(cè)．作直徑EF，使EF∥AB．利用（1）中的結(jié)論容易證得

AE

=

BF

，

CE

=

DF

，則

AE

-

CE

=

BF

-

DF

，即

AC

=

BD

．

解答：（1）證明：如圖1，∵OC=OD，
∴∠1=∠2．
∵CD∥AB，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∴

AC

=

BD

；

（2）解：①如備用圖1，當(dāng)平行弦在圓心兩側(cè)．
作直徑EF，使EF∥AB．
由（1）的結(jié)論可知，

AE

=

BF

．
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴

CE

=

DF

，
∴

AE

+

CE

=

BF

+

DF

，即

AC

=

BD

；
②如備用圖2，當(dāng)平行弦在圓心的兩側(cè)．
作直徑EF，使EF∥AB．
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
由（1）的結(jié)論可知，

AE

=

BF

，

CE

=

DF

，
∴

AE

-

CE

=

BF

-

DF

，即

AC

=

BD

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有圓心角、弧、弦的關(guān)系，平行線的性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，要分類討論，并結(jié)合圖形來(lái)解題，以降低題的難度與梯度．