Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+3的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點，點C在線段BA上以每秒1個單位長度的速度從點B向點A運動，同時點D在線段AO上以同樣的速度從點A向點O運動，運動時間為t（s），其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
（1）求線段AB的長；
（2）當(dāng)t為何值時，△ACD的面積等于△AOB面積的

9

80

；
（3）當(dāng)t為何值時，△ACD是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）首先容易求出A，B兩點的坐標(biāo)，然后求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求AB；
（2）首先表示出△ACD的面積，求出△AOB的面積，再利用△ACD的面積等于△AOB面積的

9

80

求出即可；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)AC=AD時，②當(dāng)AC=CD時，③當(dāng)AD=CD時，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

42+32

=5；

（2）如圖1，作CH⊥OA于H，
則△ACH～△ABO，
∴

CH

BO

=

AC

AB

∴

CH

3

=

5-t

5

∴CH=

3(5-t)

5

∴S△ACD=

1

2

AD•CH=

1

2

t•

3(5-t)

5

=-

3

10

t2+

3

2

t，
S△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×4×3=6，
∴-

3

10

t2+

3

2

t=6×

9

80

，
即4t²-20t+9=0
解得：t1=

1

2

，t2=

9

2

（舍去），
故t=

1

2

時，S△ACD=

9

80

S△AOB；

（3）①如圖2，當(dāng)AC=AD時，5-t=t，
∴解得：t=

5

2

（符合題意）；
②如圖3，當(dāng)AC=CD時，過點C作CH⊥AD于點H，
由（2）得出：CH=

3(5-t)

5

，AH=DH=

1

2

t，
∴

CH

AH

=

3(5-t) 5

t 2

=

3

4

，
解得：t=

40

13

（符合題意），
③如圖4，當(dāng)AD=CD時，過點D作DH⊥AB于點H，
∵∠OAB=∠HAD，∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽ABO，
∴

AH

AO

=

AD

AB

，

5-t 2

4

=

t

5

解得：t=

25

13

（符合題意），
故t為

5

2

或

40

13

或

25

13

時△ACD是一個等腰三角形．

點評：此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵，不要漏解．