Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，），點(diǎn)D是拋物線A、B兩點(diǎn)間部分上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+(2) C（ ， ）

【解析】分析: （1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線AB為：y=kx+b．將A、B的坐標(biāo)代入可得到k，b的方程組，從而可求得k，b于是得到直線AB的解析式，記CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為E．過點(diǎn)B作BF⊥DC，垂足為F．設(shè)D（m，﹣m2+2m+）則C（m，m+），依據(jù)三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，接下來由拋物線的對稱軸方程，可求得m的值，于是可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

詳解:

（1）∵由題意得,解得：，

∴y=﹣x2+2x+．

（2）設(shè)直線AB為：y=kx+b．則，解得

直線AB的解析式為y=+．

如圖所示：記CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為E．過點(diǎn)B作BF⊥DC，垂足為F．

設(shè)D（m，﹣m2+2m+）則C（m，m+）．

∵CD=（﹣m2+2m+）﹣（m+）=m2+m+2，

∴S=AEDC+CDBF=CD（AE+BF）=DC=m2+m+5．

∴S=m2+m+5．

∵﹣＜0，

∴當(dāng)m=時，S有最大值．

∴當(dāng)m=時，m+=×+=．

∴點(diǎn)C（，）．

點(diǎn)睛: 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，用含m的式子表示出CD的長，從而得到S與m的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．