Question

如圖，矩形CDEF是由矩形ABCG（AB＜BC）繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°而得，∠APE的頂點(diǎn)在線段BD上移動，則能夠使∠APE為直角的點(diǎn)P的個數(shù)是    ．

Answer 1

【答案】分析：要判斷直角頂點(diǎn)的個數(shù)，只要判定以AE為直徑的圓與線段BD的位置關(guān)系即可，相交時有2個點(diǎn)，相切時有1個，外離時有0個，不會出現(xiàn)更多的點(diǎn)．
解答：解：設(shè)兩個矩形的長是a，寬是b．連接AE，如圖在△AEM中，
根據(jù)勾股定理可得：
AE²=（a+b）²+（a-b）²=2a²+2b²；
過AE的中點(diǎn)M作MN⊥BD于點(diǎn)N．則MN是梯形ABDE的中位線，
則MN=（a+b）；
以AE為直徑的圓，半徑是：．
（a+b）=a+b≤，
而只有a=b是等號才成立，
因而 （a+b）＜，
即圓與直線BD相交，則直角頂點(diǎn)P的位置有兩個．
故答案是：2．
點(diǎn)評：本題主要是根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，把判定頂點(diǎn)的個數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系的問題來解決．