Question

3．在△DEF中，DE=DF，點(diǎn)B在EF邊上，且∠EBD=60°，C是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA=BC，連接AC．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD上時(shí)，
①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，并直接寫(xiě)出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為AE=BF；
②如圖2，若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合，請(qǐng)證明AE=BF+CD；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示線段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，根據(jù)已知條件得到△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠EAD=∠FBD=120°，推出△ADE≌△BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②證明：在BE上截取BG=BD，連接DG，得到△GBD是等邊三角形．同理，△ABC也是等邊三角形．求得AG=CD，通過(guò)△DGE≌△DBF，得到GE=BF，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）如圖3，連接DG，由（1）知，GE=BF，AG=CD，根據(jù)線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論；如圖4，連接DG，由（1）知，GE=BF，AG=CD，根據(jù)線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，∵BA=BC，∠EBD=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠EAD=∠FBD=120°，
∵DE=DF，
∴∠E=∠F，
在△AEC與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EAD=∠FBD}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF；
故答案為：AE=BF；

②證明：在BE上截取BG=BD，連接DG，
∵∠EBD=60°，BG=BD，
∴△GBD是等邊三角形．
同理，△ABC也是等邊三角形．
∴AG=CD，
∵DE=DF，∴∠E=∠F．
又∵∠DGB=∠DBG=60°，
∴∠DGE=∠DBF=120°，
在△DGE與△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EGD=∠FBD}\\{DG=BD}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DBF，
∴GE=BF，
∴AE=BF+CD；

（2）如圖3，連接DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=EG-AG；
∴AE=BF-CD，
如圖4，連接DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=AG-EG；
∴AE=CD-BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．