Question

如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，－3），設(shè)拋物線的頂點為D

【小題1】求該拋物線的解析式與頂點D的坐標
【小題2】以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？
【小題3】探究軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【小題1】設(shè)該拋物線的解析式為，
由拋物線與y軸交于點C（0，－3）,可知. （1分）
即拋物線的解析式為．                
把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 
解得.（3分）∴拋物線的解析式為y = x²－2x－3．  
∴頂點D的坐標為
【小題2】以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形. （5分）理由如下：
過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴.在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF－OC=4－3=1，
∴.在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB－OE=3－1=2，
∴. 
∴，故△BCD為直角三角形.（7分）
【小題3】符合條件的點有二個：P₁（0，0），P₂（9，0）

解析