Question

已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE＝PD總成立．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，請(qǐng)你通過測(cè)量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？(直接寫出結(jié)論不必證明)；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖畫出滿足條件的圖形，并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？(直接寫出結(jié)論不必證明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)①PE＝PB，②PE⊥PB．(2分) 　　(2)(1)中的結(jié)論成立． 　�、佟咚倪呅�ABCD是正方形，AC為對(duì)角線， 　　∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB．(3分) 　　又PC＝PC， 　　∴△PDC≌△PBC．(4分) 　　∴PD＝PB．(5分) 　∵　PE＝PD， 　∴PE＝PB．(6分) 　�、诜ㄒ唬河散伲�得△PDC≌△PBC． 　　∴∠PDC＝∠PBC．(7分) 　　又PE＝PD， 　　∴∠PDE＝∠PED．(8分) 　　∴∠PDE＋∠PDC＝∠PEC＋∠PBC＝180°． 　　∴∠EPB＝360°－(∠PEC＋∠PBC＋∠DCB)＝90°．(9分) 　　∴PE⊥PB．(10分) 　　法二：過點(diǎn)P作PM∥BC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M， 　　過點(diǎn)P作PN∥DC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N． 　　∴四邊形PMCN為平行四邊形． 　　又∠MCN＝90°， 　　∴四邊形PMCN為矩形． 　　∵∠MCA＝∠NCA， 　　∴四邊形PMCN為正方形． 　　∴MP＝NP，∠NPM＝90°．(8分) 　　又由①，得PE＝PB． 　　∴Rt△PEM≌Rt△PBN．(9分) 　　∴∠MPE＝∠NPB． 　　∴∠EPB＝∠MPE＋∠MPB＝∠NPB＋∠MPB＝∠NPM＝90°． 　　∴PE⊥PB．(10分) 　　法三：過點(diǎn)P作PM⊥DC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M， 　　過點(diǎn)P作PN⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N． 　　又∠MCN＝90°， 　　∴四邊形PMCN為矩形． 　　又∠MCA＝∠NCA， 　　∴四邊形PMCN為正方形． 　　∴MP＝NP，∠NPM＝90°． 　　又由①，得PB＝PE， 　　∴Rt△PEM≌Rt△PBN． 　　∴∠MPE＝∠NPB． 　　∴∠EPB＝∠MPE＋∠MPB＝∠NPB＋∠MPB＝∠NPM＝90°． 　　∴PE⊥PB． 　　法四：過點(diǎn)P作PM⊥DC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)BA交PM于點(diǎn)F，易得四邊形FMCB為矩形． 　　∴∠BFM＝90°． 　　∴∠MPB＋∠PBF＝90°． 　　∵PE＝PD，AD∥MP， 　　∴∠EPM＝∠DPM＝∠ADP． 　　由①，得△PDA≌△PBA． 　　∴∠PBF＝∠PDA＝∠EPM． 　　∴∠EPB＝∠MPB＋∠EPM＝∠MPB＋∠PBA＝90°． 　　∴PE⊥PB． 　　法五：過點(diǎn)P作PM⊥DC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M． 　　∴PM∥BC． 　　∴∠MPB＋∠PBC＝180°． 　　∵∠ABC＝90°， 　　∴∠MPB＋∠PBA＝90°． 　　∵PE＝PD，AD∥MP， 　　∴∠EPM＝∠DPM＝∠ADP． 　　由①，得△PDA≌△PBA， 　　∴∠PBA＝∠ADP＝∠EPM． 　　∴∠EPB＝∠MPB＋∠EPM＝∠MPB＋∠PBA＝90°． 　　∴PE⊥PB． 　　(3)正確畫出圖形．(12分) 　　結(jié)論：①PE＝PB，②PE⊥PB．(14分)