Question

4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC為直徑的半圓交AB于點D，以A為圓心，AC為半徑的扇形交AB于點E．
（1）以BC為直徑的圓與AC所在的直線有何位置關系？請說明理由；
（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）．

Answer 1

分析 （1）切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，滿足這兩個條件，則與圓相切；
（2）先根據(jù)條件求直角三角形的各邊長和銳角∠A的度數(shù)，再利用差求陰影部分的面積．

解答 解：（1）相切，理由是：
∵∠ACB=90°，BC為半圓的直徑，
∴以BC為直徑的圓與AC所在的直線相切；
（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_半圓-（S_△ABC-S_扇形AEC），
=$\frac{1}{2}$π$•（\frac{2\sqrt{3}}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{3}$+$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$，
=$\frac{13}{6}π$-2$\sqrt{3}$，
答：圖中陰影部分的面積是$\frac{13}{6}π$-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直線和圓的位置關系、勾股定理及扇形的面積，屬于常考題型，難度不大；熟練掌握直線和圓的位置關系，在求陰影部分面積時，要注意利用和或差來求解．