Question

如圖，矩形ABCD中，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BP、CP，過(guò)點(diǎn)B作射線交線段CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)M，且使得∠ABE=∠CBP，

如果AB=2，BC=5，AP= x，PM=y.

(1) 說(shuō)明△ABM∽△APB；并求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍；

(2) 當(dāng)AP=4時(shí)，求sin∠EBP的值；

(3) 如果△EBC是以∠EBC為底角的等腰三角形，求AP的長(zhǎng)。

 

Answer 1

(1)由△ABM∽△APB，得=，∴=，∴y=x﹣．(3分)

∵P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，  ∴0≤x≤5．

∵y＞0， ∴x﹣＞0， ∴x＞2， ∴x的取值范圍為2＜x≤5；(4分)

(2)過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BP于H，如圖．

∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，

∴MP=3，AM=1，

∴BM==，BP==2．

∵S_△BMP=MP•AB=BP•MH， ∴MH==，   ∴sin∠EBP=(8分)

 (3)①若EB=EC，則有∠EBC=∠ECB．

可證△AMB≌△DPC，∴AM=DP，∴x﹣y=5﹣x，

∴y=2x﹣5，∴x﹣=2x﹣5， 解得：x₁=1，x₂=4．

∵2＜x≤5，   ∴AP=x=4；(10分)

②若CE=CB，則∠EBC=∠E．

∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E， ∴PE=PM=y，

∴PC=EC﹣EP=5﹣y，

∴在Rt△DPC中，(5﹣y)²﹣(5﹣x)²=2²，     ∴3x²﹣10x﹣4=0，

解得：x₁=，x₂=(舍去)．

∴AP=x=．

終上所述：AP的值為4或．(12分)