Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=BC，且CD=AB，F(xiàn)是CD的中點，連AF．求證：∠BAF+2∠BAD=180°．

Answer 1

解：過點F作FE⊥AB，過B作BG⊥AD，連接BD，
設(shè)CF=x，則CD=2x，EF=4x，BE=x，
∴AE=3x，
在Rt△AEF中，AF==5x，
∴sin∠BAF==，
∵CD=AB，
∴AB=4x，
∵B=BC，
∴BC=4x，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，BD==2x，
過點B作DM⊥AB，則BM=CD=2x，
∴AM=2x，
∴AM=BM，
∴AD=BD=2x，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAB+∠DBA=2∠BAD，
∴∠BDA+∠BAD=180°，
∵AD•BG=AB•DM，
∴2x•BG=4x•4x，
∴BG=x，
∴sin∠BDA==，
∴∠BDA=∠BAF，
∴∠BAF+2∠BAD=180°．
分析：先過點F作FE⊥AB，過B作BG⊥AD，連接BD，設(shè)CF=x，分別表示出CD、EF、BE、AE的長，根據(jù)勾股定理求出AF，得出sin∠BAF的值，再根據(jù)勾股定理求出BD的長，然后過點B作DM⊥AB，表示出BM、
CD的長，再根據(jù)AD=BD，得出∠DAB=∠DBA，∠BDA+∠BAD=180°，根據(jù)AD•BG=AB•DM，求出BG的長，最后根據(jù)sin∠BDA==，得出∠BDA=∠BAF，即可證出答案．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，用到的知識點是勾股定理等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，難度適中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出輔助線．