Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BAP=70°，∠ABP=40°，
（1）求證：△ABP是等腰三角形；
（2）連接PC，當(dāng)∠PCB=30°時(shí)，求∠PBC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠APB，得出∠APB=∠BAP，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交CP延長(zhǎng)線于O，連接OB，過點(diǎn)B作BE⊥CP于E，證△OEB≌△ODB，推出OD=OE，BD=BE，證Rt△ABD≌Rt△PBE，推出∠BAO=∠BPO，AD=PE，求出AO=PO，證△AOB≌△POB，求出∠ABO=∠PBO=

1

2

∠ABP=20°，即可求出答案．

解答：（1）證明：在△PAB中，∵∠BAP=70°，∠ABP=40°，
∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=70°．
∴∠APB=∠BAP=70°．
∴AB=BP，即△ABP是等腰三角形．

（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交CP延長(zhǎng)線于O，連接OB，過點(diǎn)B作BE⊥CP于E，則點(diǎn)E在CO延長(zhǎng)線上，
即AD是等腰三角形ABC底邊上的高，
∴AD是邊BC的垂直平分線，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵BE⊥CE，
∴∠CEB=90°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠OBE=60°-30°=30°=∠OBD，
在△OEB和△ODB中

∠OEB=∠ODB=90° ∠EBO=∠DBO BO=BO

∴△OEB≌△ODB（AAS），
∴OD=OE，BD=BE，
∵∠BEC=∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD和Rt△PBE中

AB=BP BD=BE

，
∴Rt△ABD≌Rt△PBE（HL），
∴∠BAO=∠BPO，AD=PE，
∵OE=OD，
∴AO=PO，
在△AOB和△POB中

AB=BP ∠BAO=∠BPO AO=OP

∴△AOB≌△POB（SAS），
∴∠ABO=∠PBO=

1

2

∠ABP=

1

2

×40°=20°，
∴∠PBC=30°-20°=10°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．