Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于E，D是AE延長線上一點，且∠BDC=120°．下列結論：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正確結論的個數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據(jù)三角形內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判斷①正確；過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長線于G，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角邊角”證明△BDF和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD=CD，再根據(jù)等邊對等角求出∠DBC=30°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義求出∠DBE=∠DEB，根據(jù)等角對等邊可得BD=DE，判斷②正確，再求出B，C，E三點在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判斷③正確．

解答：解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正確；
如圖，過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長線于G，
∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴AD為∠BAC的平分線，
∴DF=DG，
∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°，
又∵∠BDC=120°，
∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，
∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，

∠BFD=∠CGD=90° DF=DG ∠BDF=∠CDG

，
∴△BDF≌△CDG（ASA），
∴DB=CD，
∴∠DBC=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=

1

2

∠BAC=30°，
根據(jù)三角形的外角性質，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE，故②正確；
∵DB=DE=DC，
∴B，C，E三點在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，
∴∠BDE=2∠BCE，故③正確；
綜上所述，正確的結論有①②③共3個．
故選D．

點評：本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，等角對等邊的性質，圓內接四邊形的判定，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半性質，綜合性較強，難度較大，特別是③的證明．