Question

16．如圖1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b滿足a²-4a+20=8b-b²．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連接AB，若D（0，-6），DE⊥AB于點(diǎn)E，B、C關(guān)于y軸對稱，M是線段DE上的一點(diǎn)，且DM=AB，連接AM，試判斷線段AC與AM之間的位置和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若N是線段DM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是MA延長線上的一點(diǎn)，且DN=AP，連接PN交y軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H，當(dāng)N點(diǎn)在線段DM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△MQH的面積是否為定值？若是，請求出這個(gè)值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a²-4a+20=8b-b²，得到（a-2）²+（b-4）²=0，求得a=2，b=4，于是得到結(jié)論；
（2）由已知條件得到AD=BC，推出△CAB≌△AMD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AM，∠ACO=∠MAD，由于∠ACO+∠CAO=90°，得到∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°即可得到結(jié)論；
（3）過P作PG⊥y軸于G，證得△PAG≌△HND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PG=HN，AG=HD，證得△PQG≌△NHQ，得到QG=QH=$\frac{1}{2}$GH=4即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵a²-4a+20=8b-b²，
∴（a-2）²+（b-4）²=0，
∴a=2，b=4，
∴A（0，2），B（4，0）；

（2）∵AD=OA+OD=8，BC=2OB=8，
∴AD=BC，
在△CAB與△AMD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=MD}\\{∠ABO=∠MDA}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△AMD，
∴AC=AM，∠ACO=∠MAD，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°，
∴AC=AM，AC⊥AM；

（3）過P作PG⊥y軸于G，
在△PAG與△HND中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=DH}\\{∠NDH=∠GAP}\\{DN=PA}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△HND，
∴PG=HN，AG=HD，
∴AD=GH=8，
在△PQG與△NHQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PGQ=∠NHQ=90°}\\{∠PQG=∠HQN}\\{PG=NH}\end{array}\right.$，
∴△PQG≌△NHQ，
∴QG=QH=$\frac{1}{2}$GH=4，
∴S_△MQH=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，完全平方公式，垂直的定義，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．