Question

如圖，△ABC中，BC=80mm，AH=60mm，D在AB邊上，E在AC上，DE∥BC以DE為邊在△ABC內(nèi)作矩形DEFG，設(shè)DE=x，DG=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，矩形DEFG的面積是1200mm²？
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，矩形DEFG的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）設(shè)高AH交DE于K，由矩形的性質(zhì)可知：DE∥BC，進(jìn)而可證明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用矩形的面積公式可知：x•y=1200，由（1）可知x和y的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）根據(jù)矩形的面積公式得出S與x的函數(shù)關(guān)系式，求出S的最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)高AH交DE于K，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AK：AH=DE：BC，
∵DE=x，DG=y，
∴KH=y，即AK=AH-KH，
∴y=-

3

4

x+60；

（2）∵x•y=1200，y=-

3

4

x+60，
∴-

3

4

x²+60x=1200，
解得：x₁=x₂=40，
答：當(dāng)x=40mm時(shí)，矩形DEFG的面積是1200mm²；

（3）∵S=x•y，y=-

3

4

x+60，
∴S=-

3

4

x²+60x，
∴當(dāng)x=-

60

2×(- 3 4 )

=40時(shí)，S_最大=

4×(- 3 4 )×60

4×(- 3 4 )

=

-602

4×(- 3 4 )

=1200mm²．
答：當(dāng)x=40mm時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大面積為1200mm²．

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．