Question

△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，BD的延長線交△ABC的外角∠ACM的平分線于E，直線CE與直線AB交于F．
（1）當∠BAC＞90°時，探究∠CDE與∠F的關(guān)系．
①如圖1，當∠ABC=26°，則∠CDE=

 

°，∠F=

 

°；
②如圖1，當∠ABC=38°，則∠CDE=

 

°，∠F=

 

°；
③由上述結(jié)果可以猜想當∠ABC的大小發(fā)生變化時，∠CDE與∠F之間的數(shù)量關(guān)系保持不變，這個數(shù)量關(guān)系用等式表示為

 

．
（2）如圖2，當∠BAC＜90°時，∠CDE與∠F之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？寫出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）①先根據(jù)∠ABC=∠ACB，∠ABC=26°，在△BCD中由外角的性質(zhì)可求得∠CDE的度數(shù)；由平角的定義求出∠ACM的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ACF的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠F的度數(shù)；
②同理可求得結(jié)果；
③根據(jù)①可得到數(shù)量關(guān)系；
（2）可以利用同樣的方法求出∠CDE，在求∠F時，應(yīng)該是在△BCF中利用外角的性質(zhì)，所以結(jié)論不同．

解答：解：（1）①∵∠ABC=∠ACB，∠ABC=26°，BD平分∠ABC，
∴在△CDB中由三角形外角的性質(zhì)可得：∠CDE=∠CBD+∠ACB=

1

2

∠ABC+∠ABC=

3

2

∠ABC=39°，
∵CF平分∠ACM，
在△BCF中由三角形外角的性質(zhì)可得：
∠F=∠MCF-∠ABC=

1

2

∠MCA-∠ABC=

1

2

（180°-∠ACB）-∠ABC=

1

2

（180°-∠ABC）-∠ABC=90°-

3

2

∠ABC=90°-

3

2

×26°=51°；
故答案為：39；51；
②當∠ABC=38°時，∠CDE=

3

2

∠ABC=57°，∠F=90°-

3

2

∠ABC=90°-

3

2

×38°=33°；
故答案為：57；33；
③由∠CDE=

3

2

∠ABC，∠F=90°-

3

2

∠ABC，可得：∠CDE+∠F=90°，
故答案為：∠CDE+∠F=90°；
（2）∠CDE-∠F=90°，證明如下：
∵AB=AC，BD平分∠ABC，
∴在△BCD中，由三角形外角的性質(zhì)可得：∠CDE=∠CBD+∠ACB=

1

2

∠ABC+∠ABC=

3

2

∠ABC，
∵CE平分∠MCA，
∴∠BCF=∠MCF=

1

2

∠MCA=

1

2

（180°-∠ACB）=

1

2

（180°-∠ABC），
在△BCF中，由三角形外角的性質(zhì)可得：∠F=∠ABC-∠BCF=∠ABC-

1

2

（180°-∠ABC）=

3

2

∠ABC-90°，
∴∠F=∠CDE-90°，
∴∠CDE-∠F=90°．

點評：本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和．