Question

1．如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）求$\widehat{BC}$的長．
（2）求弦BD的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度數(shù)，即可求出∠BOC的度數(shù)；最后根據(jù)弧長公式，求出$\widehat{BC}$的長即可．
（2）首先根據(jù)CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根據(jù)圓周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的長是多少即可．

解答 解：（1）如圖，連接OC，OD，，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵$cos∠BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴$\widehat{BC}$的長=$\frac{120×π×（10÷2）}{180}=\frac{10}{3}π$．

（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
在Rt△ABD中，
BD=AB×sin45°=10×$\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$．

點評 （1）此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，要熟練掌握．
（2）此題還考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了弧長的求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①弧長公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．②在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．