Question

6．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，M為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N為EF的中點(diǎn)，則MN的最小值為（　　）

• A． 4.8
• B． 2.4
• C． 2.5
• D． 2.6

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M′，根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由三角形的面積公式求出AM′的長．根據(jù)題意得出四邊形AEMF是矩形，故可得出AM=EF，MN=$\frac{1}{2}$AM，當(dāng)MN最小時(shí)，AM最短，此時(shí)M與M′重合，據(jù)此可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M′，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴AM′=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$．
∵M(jìn)E⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴四邊形AEMF是矩形，
∴AM=EF，MN=$\frac{1}{2}$AM，
∴當(dāng)MN最小時(shí)，AM最短，此時(shí)點(diǎn)M與M′重合，
∴MN=$\frac{1}{2}$AM′=$\frac{12}{5}$=2.4．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出AM的最小值是關(guān)鍵．