Question

已知平行四邊形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．點F為線段BC上一點（端點B，C除外），連接AF，AC，連接DF，并延長DF交AB的延長線于點E，連接CE．
（1）當(dāng)F為BC的中點時，求證：△EFC與△ABF的面積相等；
（2）當(dāng)F為BC上任意一點時，△EFC與△ABF的面積還相等嗎？說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵點F為BC的中點，
∴BF=CF=BC=，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB=b，
∴A，E兩點到BC的距離相等，都為bsinα，
則S_△ABF=••bsinα=absinα，
S_△EFC=••bsinα=absinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；

（2）解：
法一：當(dāng)F為BC上任意一點時，
設(shè)BF=x，則FC=a-x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，∴，
∴，
在△EFC中，F(xiàn)C邊上的高h₁=BEsinα，
∴，
∴，
又在△ABF中，BF邊上的高h₂=bsinα，
∴S_△ABF=bxsinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；
法二：∵ABCD為平行四邊形，
∴S_△ABC=S_△CDE=absinα，
又∵S_△AFC=S_△CDF，
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，
即S_△ABF=S_△EFC．
分析：（1）S_△EFC=FC•高h，S_△ABF=BF•高h′，而△EFC與△ABF的面積相等且當(dāng)F為BC的中點，所以必須證明h=h′，而h=ABsinα，
h′=EBsinα，所以證明方向轉(zhuǎn)化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來解答，因此便可求證所求；
（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因為△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．
點評：此題考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和三角形全等的判定，難易程度適中．