Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=120°，∠BOC=α，△OCD也是等邊三角形．
（1）請(qǐng)說明△BOC≌△ADC；
（2）當(dāng)α=120°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，求出∠ACD=∠BCO，根據(jù)SAS證出糧三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等得出∠ADC=∠BOC=120°，求出∠AOC=120°，求出∠ADO=∠AOD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可；
（3）分為三種情況：：①當(dāng)∠ADO=90°時(shí)，α=150°，根據(jù)∠BOC=∠ADC=α=150°和∠ODC=60°求出∠ADO=90°即可；②當(dāng)∠AOD=90°時(shí)，α=90°，求出∠AOC=150°，求出∠AOD=90°即可；③當(dāng)∠OAD=90°時(shí)，求出∠DAO=∠ABC=60°不能等于90°此種情況不存在．

解答：解：（1）∵△ABC和△ODC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
∴∠ACD=∠BCO，
在△BOC和△ADC中

BC=AC ∠BCO=∠ACD OC=CD

，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；

（2）△AOD的形狀是等邊三角形
理由是：∵△BOC≌△ADC，∠BOC=α=120°，
∴∠ADC=∠BOC=120°，∠AOC=360°-120°-120°=120°，
∵∠ODC=∠DOC=60°，
∴∠ADO=∠AOD=60°，
∴AD=AO，
∴△AOD的形狀是等邊三角形；

（3）分為三種情況：①當(dāng)∠ADO=90°時(shí)，α=150°，
理由是：∵∠BOC=∠ADC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
②當(dāng)∠AOD=90°時(shí)，α=90°，
理由是：∵∠AOC=360°-∠AOB-α=360°-90°-120°=150°，
∵∠DOC=60°，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD是直角三角形；
③當(dāng)∠OAD=90°時(shí)，∵△BOC≌△ADC，
∴∠CBO=∠DAC，
∵∠AOB=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°，
∴∠OAC=∠OBA，
∴∠DAO=∠OBA+∠OBC=∠ABC=60°，即∠OAD=90°此種情況不存在；
綜合上述，當(dāng)α等于150°或90°時(shí)，△AOD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．