Question

如圖 (1)，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止，不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC(或它的延長線)于G、H點，如圖(2).  
(1)問：始終與△AGC相似的三角形有(    )及(    )；  
(2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖(2)的情況說明理由）；  
(3)問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形？

Answer 1

解：(1)△HGA及△HAB； 
 (2)由(1)可知△AGC∽△HAB  
∴即＝，所以，y＝  
 (3)當(dāng)CG＜BC時，∠GAC＝∠H＜∠HAC， 
 ∴AC<CH ∵AG<AC，
∴AG<GH  又AH>AG,AH>GH  
此時，△AGH不可能是等腰三角形； 
 當(dāng)CG=BC時，G為BC的中點，H與C重合，
  △AGH是等腰三角形;  
此時，GC=，即x=  當(dāng)CG>BC時，
由(1)可知△AGC∽△HGA， 
 所以，若△AGH是等腰三角形，只可能存在AG＝AH  
若AG＝AH，則AC＝CG，此時x＝9．
  綜上，當(dāng)x＝9或時，△AGH是等腰三角形．