Question

如圖，AB、CD是半徑為10的圓O的兩條弦，AB=16，CD=12，MN是直徑，AB⊥MN 于點(diǎn)E，CD⊥MN于F，P為EF上任意一點(diǎn)，求PA+PC的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，連接AD，與MN的交點(diǎn)即為所求的PA+PC的最小值時(shí)的點(diǎn)P，根據(jù)垂徑定理求出AE、CF，利用勾股定理列式求出OE、OF，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，求出AH、DH，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴連接AD，與MN的交點(diǎn)即為所求的PA+PC的最小值時(shí)的點(diǎn)P，
由垂徑定理得，AE=

1

2

AB=

1

2

×16=8，
CF=

1

2

CD=

1

2

×12=6，
∵⊙O的半徑為10，
∴OE=

102-82

=6，
OF=

102-62

=8，
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則AH=AE+EH=8+6=14，
DH=OE+OF=6+8=14，
∴AD=

142+142

=14

2

，
即PA+PC的最小值是14

2

．
故答案為14

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，垂徑定理，勾股定理，熟記各定理并確定出PA+PC最小時(shí)的點(diǎn)判定位置是解題的關(guān)鍵．