Question

17．圖①是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖②，再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖③．
（1）圖②有5個(gè)三角形；圖③有9個(gè)三角形．
（2）按上面的方法繼續(xù)下去，第n個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形？（用n的代數(shù)式表示結(jié)論）
（3）有沒(méi)有一個(gè)圖形中存在2016個(gè)三角形？如果存在，請(qǐng)求出是第幾個(gè)三角形；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形的變化可發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多4個(gè)三角形，結(jié)合圖①有一個(gè)三角形即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖形的變化可發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多4個(gè)三角形，而圖形①只有一個(gè)三角形，用含n的代數(shù)式表示出結(jié)論即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，令三角形的個(gè)數(shù)等于2016，看n的值是否為整數(shù)，是的話則第n個(gè)圖形就是所求，如果不是，則不存在．

解答 解：根據(jù)圖形的變化可知每個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多4個(gè)三角形．
（1）由發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知圖②有1+4=5個(gè)三角形；圖③有5+4=9個(gè)三角形．
故答案為：5；9．
（2）4×（n-1）+1=4n-3．
故按上面的方法繼續(xù)下去，第n個(gè)圖形中有4n-3個(gè)三角形．
（3）令4n-3=2016，解得n=504…3，
∵商出現(xiàn)了余數(shù)，即得數(shù)不是整數(shù)，
∴沒(méi)有一個(gè)圖形中存在2016個(gè)三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形變化類中的三角形的變化，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)圖形的變化發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多4個(gè)三角形．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，只要按照后面圖形的畫(huà)法，分析圖②圖③即可得出結(jié)論，唯一的失分點(diǎn)是忘記結(jié)合圖①一個(gè)三角形．