Question

如圖1，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C、D分別在半徑OA與弧AB上，且AC=2，CD平行OB，點P是CD上一動點，過P作PO的垂線交弧AB于點E、F，聯(lián)結(jié)DE、BF．
（1）求

S△DEP

S△DFP

的值；
（2）如圖2，聯(lián)結(jié)EO、FO，若∠EOF=60°，求CP的長；
（3）設CP=x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理可得PE=PF，繼而可得

S△DEP

S△DFP

的值；
（2）首先判斷∠EOP=30°，求出EP，結(jié)合AC=2求出OC，在Rt△OCP中，可求出CP的長；
（3）連結(jié)OD，作EH⊥CD，垂足為H，分別表示出OP、EP，再證明△OCP∽△PHE，利用對應邊成比例求出EH，得出y的表達式即可．

解答：解：（1）作DM⊥EF，垂足為M，
∵OP⊥EF，
∴PE=PF，
∴

S△DEP

S△DFP

=

1 2 •PE•DM

1 2 •PF•DM

=1．

（2）∵∠EOF=60°，
∴∠EOP=30°，
∵OE=AO=5，
∴EP=

5

2

，
∵OP⊥EF，
∴OP=

5

2

3

，
∵OC=OA-AC=3，
∴CP=

OP2-OC2

=

75 4 -9

=

39

2

．

（3）連結(jié)OD，在Rt△CDO中，OC=3，OD=5，
∴CD=4，DP=4-x，
作EH⊥CD，垂足為H，
∵OC=3，CP=x，
∴OP=

x2+9

，
∴在Rt△EPO中，EP=

16-x2

，
∵∠COP+∠CPO=90°，∠EPH+∠CPO=90°，
∴∠COP=∠EPH，
∴△OCP∽△PHE，
∴

CP

PO

=

EH

EP

，
∴

x

x2+9

=

EH

16-x2

，
∴EH=

x 16-x2

x2+9

，
y=S_△DEF=2S_△DPE=2×

1

2

×DP×EH=（4-x）×

x 16-x2

x2+9

=

(4x-x2) 16-x2

x2+9

，
∴y=

(4x-x2) 16-x2

x2+9

（

6

≤x＜4）．

點評：此題考查了圓的綜合，涉及了垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識點較多，解答本題關(guān)鍵還是基本知識的掌握，要求同學們會運用數(shù)形結(jié)合思想解題．