Question

如圖，分別延長(zhǎng)正方形ABCD的邊CB和BA，至點(diǎn)E和點(diǎn)F，使BE=AF，連接EA，并延長(zhǎng)交DF于點(diǎn)H．
（1）求證：△ADH∽△AEB；
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，BE=b，求．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，
而B(niǎo)E=AF，
∴△FAD≌△EBA，
∴∠BAE=∠FDA，
又∠BAE=∠HAF，
∴∠HAF=∠FDA，
而∠DAH+∠HAF=90°，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠AHD=90°，
∴△ADH∽△AEB；

（2）解：∵△FAD≌△EBA，
∴AE=DF，
而正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，BE=b，
∴AF=b，AD=a，
∴DF==，
而S_△AFD=AF•AD=AH•DF，
∴AH==，
∴=．
分析：（1）首先利用已知條件證明△FAD≌△EBA，然后利用全等三角形的性質(zhì)證明△ADH∽△AEB；
（2）利用（1）可以證明△ADF∽△HAF，然后利用三角形的面積公式和勾股定理即可求解．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定及正方形的性質(zhì)，同時(shí)也利用了勾股定理和三角形的面積公式，綜合性比較強(qiáng)．