Question

20．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（-2，3），B（3，4）為圓心，以1、3為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值等于$\sqrt{74}$-4．

Answer 1

分析 作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PM+PN最小，再利用對(duì)稱確定A′的坐標(biāo)，接著利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出A′B的長(zhǎng)，然后用A′B的長(zhǎng)減去兩個(gè)圓的半徑即可得到MN的長(zhǎng)，即得到PM+PN的最小值．

解答 解：作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，
則此時(shí)PM+PN最小，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)（-2，3），
∴點(diǎn)A′坐標(biāo)（-2，-3），
∵點(diǎn)B（3，4），
∴A′B=$\sqrt{（3+2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∴MN=A′B-BN-A′M=$\sqrt{74}$-3-1=$\sqrt{74}$-4，
∴PM+PN的最小值為$\sqrt{74}$-4．
故答案為$\sqrt{74}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)和關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決線段和的最小值問題；會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．