Question

7．如圖，直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸交于A，B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A，B兩點，M是射線BA上一個動點，MN∥y軸交拋物線于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AN，BN，設(shè)△ABN的面積為S，點M在線段AB上運動，在點M的運動過程中，S是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由
（3）點M從點B出發(fā)，沿射線BA方向以每秒5個單位長度的速度勻速運動，設(shè)運動的時間為ts，當(dāng)t為何值時，MB=MN，請直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

分析 （1）先求出直線與坐標(biāo)軸的交點A、B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）延長NM交x軸于點C，設(shè)設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，則M（m，$\frac{3}{4}$m-3）（0≤m≤4），N（m，m²-$\frac{13}{4}$m-3），由S=S_△BMN+S_△AMN列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)求解可得；
（3）分點M點N的上方和下方兩種情況，利用sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{CM}{BM}$=$\frac{4}{5}$、BM=5t，從而得出M、N的橫坐標(biāo)均為4t，表示出其縱坐標(biāo)，根據(jù)位置不同分別表示出MN，由MN=BM列方程求解可得．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸交于點A，B，
當(dāng)x=0時，y=-3，即點B的坐標(biāo)為（0，-3）
當(dāng)y=0時，x=4，即點A的坐標(biāo)為（4，0），
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A，B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{13}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-$\frac{13}{4}$x-3；

（2）如圖1，延長NM交x軸于點C，

∵點A的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA=4
設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，則M（m，$\frac{3}{4}$m-3）（0≤m≤4），N（m，m²-$\frac{13}{4}$m-3），
∴MN=（$\frac{3}{4}$m-3）-（m²-$\frac{13}{4}$m-3）=-m²+4m，
S=S_△BMN+S_△AMN=$\frac{1}{2}$MN•OC+$\frac{1}{2}$MN•AC
=$\frac{1}{2}$MN•（OC+AC）
=$\frac{1}{2}$MN•OA
=2MN
=2（-m²+4m）=-2（m-2）²+8
∵a=-2＜0，0≤m≤4，
∴當(dāng)m=2時，S存在最大值，最大值為8；

（3）t=$\frac{11}{16}$或t=$\frac{21}{16}$，
如圖2，當(dāng)M在點N的上方時，過點M作MC⊥y軸，垂足為點C，則∠MCB=90°，

∵A（4，0）、B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{5}$
在Rt△BCM中，∵MB=5t，
∴MC=MB•sin∠ABO=5t•$\frac{4}{5}$=4t
∴點M的橫坐標(biāo)是4t，點N橫坐標(biāo)為4t，
∴y_M=$\frac{3}{4}$×4t-3=3t-3，y_N=（4t）²-$\frac{13}{4}$×4t-3=16t²-13t-3，
∴MN=3t-3-（16t²-13t-3）=-16t²+16t
當(dāng)MB=MN時，即5t=-16t²+16t，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{11}{16}$，
∴t=$\frac{11}{16}$；
如圖3，當(dāng)點M在點N的下方時，過點M作MC⊥y軸，垂足為點C，

易得y_M=$\frac{3}{4}$×4t-3=3t-3，y_N=（4t）²-$\frac{13}{4}$×4t-3=16t²-13t-3，
∴MN=16t²-13t-3-（3t-3）=16t²-16t，
當(dāng)MB=MN時，即5t=16t²-16t，
解得t₃=0（舍去），t₄=$\frac{21}{16}$
綜上所述，符合條件的t值為$\frac{11}{16}$或$\frac{21}{16}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、割補法求三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)及解一元二次方程的能力是解題的關(guān)鍵．