Question

如圖，已知長方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，且點B（4，3），反比例函數(shù)y=

k

x

圖象與BC交于點D，與AB交于點E，其中D（1，3）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若長方形OABC對角線的交點為F，作FG⊥x軸交直線DE于點G．
①請判斷點F是否在此反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，并說明理由；
②求FG的長．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把已知點D的坐標代入反比例函數(shù)的解析式，求出其解析式；
（2）①連接AC，OB交于點F，過F作FH⊥x軸于H．根據(jù)四邊形OABC是矩形和△OFH∽△OBA，求出F點的坐標，代入函數(shù)解析式進行驗證．
②求出DE的解析式，將G點橫坐標代入，求出縱坐標，與F點的縱坐標相減即可得到GF的距離．

解答：解：（1）把D（1，3）代入y=

k

x

，得3=

k

1

，
∴k=3．
∴y=

3

x

．
∴當x=4時，y=

3

4

，
∴E（4，

3

4

）．
（2）①點F在反比例函數(shù)的圖象上．
理由如下：
連接AC，OB交于點F，過F作FH⊥x軸于H．
∵四邊形OABC是矩形，
∴OF=FB=

1

2

OB．
又∵∠FHO=∠BAO=90°，∠FOH=∠BOA，
∴△OFH∽△OBA．
∴

OH

OA

=

FH

BA

=

OF

OB

=

1

2

，
∴OH=2，F(xiàn)H=

3

2

．
∴F（2，

3

2

）．
即當x=2時，y=

3

x

=

3

2

，
∴點F在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上．
②設D點坐標為（d，3），E點坐標為（4，e），
將D（d，3）代入y=

3

x

得，

3

d

=3，
解得，d=1，則D（1，3）；
將E（4，e）代入y=

3

x

得，e=

3

4

，
則E（4，

3

4

）；
設DE解析式為y=kx+b，
將D（1，3），E（4，

3

4

）分別代入解析式得：

k+b=3 4k+b= 3 4

，
解得

k=- 3 4 b= 15 4

，函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+

15

4

．
設G點坐標為（2，g），
代入y=-

3

4

x+

15

4

得：g=

9

4

，
FG=

9

4

-

3

2

=

3

4

．

點評：本題比較復雜，把反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合，考查了學生對所學知識的綜合運用能力．