Question

如圖，正△ABC外接圓的半徑為R，求正△ABC的邊長，邊心距，周長和面積．

Answer 1

分析：連接OB，OA，延長AO交BC于D，根據(jù)等邊三角形性質得出AD⊥BC，BD=CD=

1

2

BC，∠OBD=30°，求出OD，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即為周長，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：連接OB，OA，延長AO交BC于D，
∵正△ABC外接圓是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=

1

2

BC，∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
即邊心距OD=

1

2

OB=

1

2

R，
由勾股定理得：BD=

OB2-OD2

=

3

2

R，
即三角形邊長為BC=2BD=

3

R，AD=AO+OD=R+

1

2

R=

3

2

R，
則△ABC的周長是3BC=3×

3

R=3

3

R；
則△ABC的面積是

1

2

BC×AD=

1

2

×

3

R×

3

2

R=

3 3

4

R²．

點評：本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的外接圓，三角形的面積等知識點的應用，關鍵是能正確作輔助線后求出BD的長，題目具有一定的代表性，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．