Question

7．如圖，二次函數(shù)y=-x²+1與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點．
（1）求A，B，C的坐標(biāo)；
（2）求S_△ABC；
（3）在x軸上是否得在點P使△PBC為等腰三角形？若存在，直接寫出P的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程求出x和y的值即可求得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論；
（3）存在，根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，設(shè)P（a，0）①當(dāng)B為頂點時，②當(dāng)C為頂點時，③當(dāng)P為頂點時，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）y=-x²+1，令y=0，則0=-x²+1，
解得：x₁=-1，x₂=1，令x=0，則y=1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，1）；
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
（3）存在，
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
設(shè)P（a，0）
①當(dāng)B為頂點時，則|a-1|=$\sqrt{2}$，
解得：a=1±$\sqrt{2}$，
∴P（1+$\sqrt{2}$，0）或P（1-$\sqrt{2}$，0）；
②當(dāng)C為頂點時，即CP=CP，
∵OC⊥PB，
∴OP=OB=1，
∴P（-1，0）；
③當(dāng)P為頂點時，即PC=PB，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{1}^{2}}$=|1-a|，
解得：a=0，
∴P（0，0）；
綜上所述：P的坐標(biāo)為：P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1-$\sqrt{2}$，0），P₃（-1，0），P₄（0，0）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了根據(jù)拋物線的解析式的確定點的坐標(biāo)，拋物線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，能靈活運用．