Question

8．已知關(guān)于x的方程x²-8x+（b-3）|x-4|+16-3b=0有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． b≤-3或b＞0
• B． b=-2或b＞0
• C． b=-3或b＞0
• D． b=-2

Answer 1

分析 由于方程含有絕對值，因此需要分兩種情況去掉絕對值號，然后根據(jù)一元二次方程的根情況進行討論．

解答 解：當x≥4時，
原方程化為：x²-8x+（b-3）（x-4）+16-3b=0，
化簡為：x²+（b-11）x+28-7b=0，
此時，△=（b-11）²-4（28-7b）=（b+3）²≥0，
∴此時方程的解為：x₁=7，x₂=4-b，
當x＜4時，
原方程化為：x²-8x-（b-3）（x-4）+16-3b=0，
化簡為：x²-（b+5）x+b+4=0，
此時，△=（b+5）²-4（b+4）=（b+3）²≥0，
∴此時方程的解為：x₃=1，x₄=b+4，
當b=-3時，
此時x₁=x₂=7，x₃=x₄=1，
此情況滿足題意．
當$\left\{\begin{array}{l}{4-b＜4}\\{b+4≥4}\end{array}\right.$時，
此時：b＞0，
綜上所述，b=-3且b＞0，
故選（C）

點評 本題考查根的判別式，涉及一元二次方程的解，分類討論的思想，屬于中等題型．