Question

如圖，一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與與坐標軸相交于A、B兩點，點P（x，y）是線段AB（不含端點）上一動點，設(shè)△AOP的面積為S．
（1）求點B的坐標；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當S=

1

2

時，試問在x軸上是否存在一點Q，使得PQ+BQ最��？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）從圖中不難發(fā)現(xiàn)，點B在y軸上，即B點的橫坐標為0，且點B在一次函數(shù)y=-2x+2的圖象上，則將x=0代入即可求得y值，B點坐標即可確定．
（2）根據(jù)A點為一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與與x軸的交點，不難確定A點的坐標為（1，0）．再運用三角形的面積計算公式，即可用求得△AOP的面積為S關(guān)于x的解析式．
（3）首先根據(jù)（2）可求得P的坐標值．再設(shè)B關(guān)于x軸的對稱點為B′，連接PB′，交x軸于Q，Q點即為所求．B′點的坐標根據(jù)B點坐標不難求得．因而利用P、B的坐標求得PB′的解析式，再聯(lián)立組成方程組求得Q點的坐標值．

解答：解：（1）當x=0時，y=-2×0+2=2，
即B（0，2）；

（2）當y=0時，0=-2x+2，
解得x=1，
∴A（1，0），即OA=1，
∴S_△AOP=

1

2

×OA×yP=

1

2

×1×(-2x+2)=-x+1，
即S=-x+1，其中0＜x＜1；

（3）∵S=

1

2

，
∴

1

2

=-x+1，
解得x=

1

2

，
把x=

1

2

代入y=-2x+2，可得y=1，
即P（

1

2

，1），
設(shè)B關(guān)于x軸的對稱點為B′，連接PB′，交x軸于Q，Q點即為所求，如圖．
∵B′（0，-2），設(shè)經(jīng)過PB′的直線解析式為y=kx+b，于是

1= 1 2 k+b -2=k•0+b

，
解得k=6，b=-2，
∴PB′的解析式為y=6x-2，
令y=0時，解得x=

1

3

，
即Q（

1

3

，0）．

點評：本題是一次函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．