Question

2．如圖，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)O是邊BC上的動點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓O，交AB邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作∠ODP=∠B，交邊AC于點(diǎn)P，交圓O與點(diǎn)E．設(shè)OB=x．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，求PD的長；
（2）設(shè)AP-EP=y，求y關(guān)于x的解析式及定義域；
（3）聯(lián)結(jié)OP，當(dāng)OP⊥OD時(shí)，試判斷以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，首先求出cos∠B，cos∠A，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，只要證明PA=PD即可；
（2）如圖2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．分兩種情形①當(dāng)$\frac{11}{6}$≤x≤$\frac{625}{234}$時(shí)，如圖4中．②當(dāng)$\frac{625}{234}$＜x＜$\frac{25}{6}$時(shí)，如圖5中，作PG⊥AB于G．
（3）如圖6中，連接OP．根據(jù)cos∠C=cos∠B=$\frac{PC}{OC}$=$\frac{3}{5}$，列出方程，求出兩圓的半徑，圓心距即可判斷．

解答 解：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，

∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，AH=4，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AH=$\frac{1}{2}$•AB•CG，
∴CG=$\frac{24}{5}$，AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴cos∠B=$\frac{3}{5}$，cos∠BAC=$\frac{7}{25}$，
如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，

∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=∠ACB，
∵∠ADO=∠B+∠BOD=∠CDO+∠ADP，∠ODP=∠B，
∴∠ADP=∠BOD=∠BAC，
∴PA=PD=5；
（簡單解法：易知∠A=180°-2∠B，只要證明∠ADP=180°-2∠B即可解決問題）

（2）如圖2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．
∵AD=2AG=$\frac{14}{5}$，
∵BD=2BH=2OB•cos∠B=$\frac{6}{5}$x，
∴$\frac{6}{5}$x+$\frac{14}{5}$=5，
∴x=$\frac{11}{6}$，
如圖3中，當(dāng)P、E重合時(shí)，作EG⊥AD于G．

根據(jù)對稱性可知，B、E關(guān)于直線OD對稱，
∴DB=DE=AE=$\frac{6}{5}$x，
∵cos∠A=$\frac{7}{25}$=$\frac{AG}{AE}$，
∴$\frac{\frac{5-\frac{6}{5}x}{2}}{\frac{6}{5}x}$=$\frac{7}{25}$，
解得x=$\frac{625}{234}$，
當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)$\frac{6}{5}$x=5，
∴x=$\frac{25}{6}$，
當(dāng)$\frac{11}{6}$≤x≤$\frac{625}{234}$時(shí)，如圖4中，

∵y=PA-PE=PD-PE=DE=BD=$\frac{6}{5}$x，
∴y=$\frac{6}{5}$x，
當(dāng)$\frac{625}{234}$＜x＜$\frac{25}{6}$時(shí)，如圖5中，作PG⊥AB于G．

∵BD=DE=$\frac{6}{5}$x，DG=AG=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{6}{5}$x），
∴AP=AG÷cos∠A=$\frac{25}{14}$（5-$\frac{6}{5}$x），
∴y=AP-EP=$\frac{25}{14}$（5-$\frac{6}{5}$x）-[$\frac{6}{5}$x-$\frac{25}{14}$（5-$\frac{6}{5}$x）]=-$\frac{192}{35}$x+$\frac{125}{7}$，
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{5}x}&{（\frac{11}{6}≤x≤\frac{625}{234}）}\\{-\frac{192}{35}x+\frac{125}{7}}&{（\frac{625}{234}＜x＜\frac{25}{6}）}\end{array}\right.$．

（3）如圖6中，連接OP．

連接OP，作DK⊥OB，ON⊥BD、PM⊥BC于M，設(shè)ON=4k，則易知OB=DO=5k．BN=DN=3k，
DK=$\frac{BD•ON}{OB}$=$\frac{24}{5}$k，OP=$\frac{20}{3}$k，
由△DOK∽△OPM可得OM=$\frac{32}{5}$k，PM=$\frac{28}{15}$k，可得PC=$\frac{7}{3}$k，
∵OD+PC=5k+$\frac{7}{3}$k=$\frac{22}{3}$k＞$\frac{20}{3}$k，
∴以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關(guān)系是相交．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是尋找特殊點(diǎn)解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程的解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．