Question

19．如圖，在?ABCD中，AC=AD，⊙O是△ACD的外接圓，BC的延長線與AO的延長線交干E．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若AB=8，AD=5，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）由已知得出$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，由垂徑定理得出OA⊥CD，由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，因此OA⊥AB，即可得出結論；
（2）連接OD，由垂徑定理得出CF=DF=4，由平行線得出△ADF∽△ECF，得出對應邊成比例，證出AD=CE，AF=EF，得出BC=CE，BE=10，由勾股定理求出AE，得出AF=EF=3，設OE=x，則OF=3-x，⊙O的半徑為6-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵AC=AD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴OA⊥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：連接OD，如圖所示：
∵OA⊥CD，
∴CF=DF=4，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AF}{EF}=\frac{DF}{CF}$=1，
∴AD=CE，AF=EF，
∴BC=CE，
∴BE=2BC=2AD=10，
∴AE=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AF=EF=3，
設OE=x，則OF=3-x，⊙O的半徑為6-x，
由勾股定理得：OF²+DF²=OD²，
即（6-x）²=（3-x）²+4²，
解得：x=$\frac{11}{6}$，
即OE=$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查了切線的判定、垂徑定理、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題（2）的關鍵．