Question

如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，
（1）D為AC的中點，連BD，過A點作AE⊥BD于E點，交BC于F點，連DF，求證：∠ADB=∠CDF．
（2）若D，M為AC上的三等分點，如圖2，連BD，過A作AE⊥BD于點E，交BC于點F，連MF，判斷∠ADB與∠CMF的大小關(guān)系并證明．

Answer 1

（1）證明：作AG平分∠BAC，交BD于點G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
∴
∴△BAG≌△CAF，（ASA）
∴AG=CF，
又∵AD=CD，∠GAD=∠C=45°，
∴△AGD≌△DFC，（SAS）
∴∠ADB=∠CDF；

（2）解：∠ADB=∠CMF．
證明：作AG平分∠BAC，交BD于點G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
∴
∴△BAG≌△CAF，（ASA）
∴AG=CF，
又∵AD=CM，∠GAD=∠C=45°，
∴△AGD≌△CFM，（SAS）
∴∠ADG=∠CMF；
即：∠ADB=∠CMF．
分析：（1）由∠BAC為直角，得到其他兩銳角互余，又根據(jù)AE與BD垂直，得到三角形ADF為直角三角形，故兩銳角也互余，根據(jù)同角的余角相等即可得證；
（2）首先證明△BAG≌△CAF，進(jìn)而得出△AGD≌△CFM，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可得證．
點評：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)．對條件充分認(rèn)識和對知識點的系統(tǒng)利用，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．