Question

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4，以AB所在直線為x軸，過D且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標系。

（1）求∠DAB的度數(shù)及A、D、C三點的坐標；
（2）求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其對稱軸L；
（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使△PDB為等腰三角形的點P有幾個？（不必求點P的坐標，只需說明理由）

Answer 1

解：（1）∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴ ∠CDB=∠CBD=∠DBA，∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠DAB=60°，∠DBA=30°，
∵AB=4，∴DC=AD=2，
Rt△AOD中，OA=1，OD=，
∴A（-1，0），D（0，），C（2，）。
（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點A（-1，0），B（3，0），
，
將點D（0，）的坐標代入上式得，，
，
其對稱軸L為直線x=1。
（3）△PDB為等腰三角形，有以下三種情況：
①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點P₁，P₁D=P₁B，△P₁DB為等腰三角形；
②因為以D為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃，△P₂DB，△P₃DB為等腰三角形；
③與②同理，L上也有兩個點P₄、P₅，使得BD=BP₄，BD=BP₅。
由于以上各點互不重合，所以在直線L上，使△PDB為等腰三角形的點P有5個。