Question

矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，另兩個(gè)頂點(diǎn)都在第一象限，且直線y=

3

2

x-1經(jīng)過(guò)這兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)．
（1）求A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）以AB為直徑作⊙M，記過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為P．
①若P點(diǎn)在⊙M和矩形內(nèi)，求a的取值范圍；
②過(guò)點(diǎn)C作CF切⊙M于E，交AD于F，當(dāng)PF∥AB時(shí)，求拋物線的函數(shù)解析式．

Answer 1

（1）首先畫圖．設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，0）

又∵AB=3，AD=2且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．AB在x軸的正半軸上．
又∵ABCD為矩形，則點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為（x+3，0），（x+3，2），（x，2）
∴直線y=

3

2

x-1，經(jīng)過(guò)這兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)．
當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，

3

2

(x+3)=3
∴x=-1
又∵點(diǎn)A在x軸正半軸上
∴x＞0
∴x=-1舍去
當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，

3

2

x-1=2
∴x=2，符合題意．
∴A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）、（5，0）、（5，2）、（2，2）

（2）①∵此拋物線過(guò)點(diǎn)A．B
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-5）=ax²-7ax+10a（a≠0）
∴其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

7

2

，-

9

4

a)
而⊙M的圓心M的坐標(biāo)為(

7

2

，0)，半徑為

3

2

∴若P點(diǎn)在⊙M和矩形內(nèi)，則0＜-

9

4

a＜

3

2

，
∴-

2

3

＜a＜0．
②設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，y），則FA=y
∵CF切⊙M于E，CB、FA均為⊙M的切線，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理有CE=BC=2，EF=AF=-

9

4

a，
設(shè)直線PF與BC相交于G，在直角三角形CFG中，
CF²=FG²+CG²，CG=BC-AF=2+

9

4

a，CF=BC+EF=2-

9

4

a；
∴（2-

9

4

a）²=（2+

9

4

a）²+9
解得a=-

1

2

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-2）（x-5）=-

1

2

x²+

7

2

x-5．