Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為a，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC的延長線上，AP=CQ，連接PQ與AC相交于點(diǎn)D，作PE⊥AC于E，則DE=

1

2

a

．

Answer 1

分析：過P作PF∥BC交AC于F，推出△APF是等邊三角形，推出AP=PF=CQ，求出∠FPD=∠Q，根據(jù)AAS證△FPD≌△CQD，推出FD=DC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出AE=EF，求出DE=FE+DF=

1

2

AC，代入求出即可．

解答：解：
過P作PF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠B=∠A=60°，
∵PF∥BC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵PF∥BC，
∴∠FPD=∠Q，
在△FPD和△CQD中

∠FPD=∠Q ∠FDP=∠CDQ PF=CQ

∴△FPD≌△CQD（AAS），
∴FD=DC，
∵AP=PF，PE⊥AF，
∴AE=EF，
∴DE=FE+DF=CD+AE=

1

2

AC=

1

2

a，
故答案為：

1

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．