Question

如圖，將矩形ABCD的一邊CD沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AE上，
（1）如圖1，若折痕DE=2，且tan∠DAF=，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）如圖2，過點(diǎn)F作FM∥AB，交BC于M，在AD邊的延長(zhǎng)線上截取DN=EM，連接EN、AC．求證：AC⊥EN．

Answer 1

解：（1）由 tan∠DAF=，可設(shè)DF=3x，AF=4x，
在Rt△ADF中，AD==5x，
由矩形及折疊的性質(zhì)可得：CD=DF=AB，
∵在△ADF和△AEB中，
，
∴△ADF≌△EAB，
∴AE=AD=5x，BE=AF=4x，
∴EC=BC-BE=AD-BE=x，
在△DCE中，DE²=CE²+CD²，即（2）²=x²+（3x）²，
解得：x=，
則矩形的周長(zhǎng)為=2（AB+AD）=16x=16．

（2）連接DM交AC于H，延長(zhǎng)DF交BC于K，

∴===，
∵∠KFM=∠FEM（同角的余角相等，都是∠EFM的余角），
∴∠DFM=∠AEC（等角的補(bǔ)角相等），
∴△DFM∽△AEC，
∴∠EAC=∠FDM，
∵∠EAC+∠AHF=90°，∠AHF=∠DHP，
∴∠FDM+∠DHP=90°，
∴DM⊥AC，
∵DNME，
∴四邊形DMEN是平行四邊形，
∴AC⊥EN．
分析：（1）設(shè)DF=3x，AF=4x，可求出AD，證明△ADF≌△EAB，從而確定EC的長(zhǎng)度，在Rt△DCE中利用勾股定理可求出x的值，繼而得出矩形的周長(zhǎng)；
（2）連接DM交AC于H，延長(zhǎng)DF交BC于K，通過證明△DFM∽△AEC，得到∠EAC=∠FDM，繼而證明DM⊥AC，容易判斷四邊形DMEN是平行四邊形，繼而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的知識(shí)，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．