Question

5．觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離：4與-2，3與5，-2與-6，-4與3．如：4與-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離是|4-（-2）|=6；3與5對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離是|3-5|=2．
回答下列問(wèn)題：
（1）若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)間的距離是多少？（用含a、b的式子表示）
答：|b-a|；
（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為-1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|；
（3）結(jié)合數(shù)軸可得|x-2|+|x+3|的最小值為5；
（4）若關(guān)于x的方程|x-1|+|x+1|+|x-5|=a無(wú)解，則a的取值范圍是a＜6．

Answer 1

分析 （1）直接借助數(shù)軸可以得出；
（2）結(jié)合數(shù)軸，分三種情況進(jìn)行討論．當(dāng)x＜-1時(shí)，距離為-x-1，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，距離為x+1，當(dāng)x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|；
（3）|x-2|即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x(chóng)與2之間的距離．|x+3|=|x-（-3）|即x與-3的差的絕對(duì)值，它也可以表示數(shù)軸上x(chóng)與-3之間的距離． 借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案；
（4）分情況討論：①當(dāng)x≥5時(shí)，②當(dāng)1≤x＜5時(shí)，③當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，④當(dāng)x＜-1時(shí)，分別得出f（x）的取值范圍，進(jìn)而確定f（x）的取值范圍，從而得出a的值．

解答 解：（1）由觀察可知：A、B兩點(diǎn)間的距離是|b-a|；
（2）結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論．

當(dāng)x＜-1時(shí)，距離為-x-1，

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，距離為x+1，

當(dāng)x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|；
（3）當(dāng)x＜-3時(shí)，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此時(shí)最小值大于5；
當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；
當(dāng)x＞2時(shí)，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此時(shí)最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值為5，取得最小值時(shí)x的取值范圍為-3≤x≤2；
（4）先求f（x）=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域：
當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10，
當(dāng)1≤x＜5時(shí)，f（x）=x-1+x+1+5-x=x+5，此時(shí)值域?yàn)閇6，10），
當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f（x）=1-x+x+1+5-x=7-x，此時(shí)值域?yàn)椋?，8]，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=1-x-x-1+5-x=5-3x＞8，此時(shí)值域?yàn)椋?，+∞），
所以f（x）的值域?yàn)椋篺（x）≥6．
即：|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6，
因?yàn)閨x-1|+|x+1|+|x-5|=a無(wú)解，
所以a＜6．
故答案為：（1）|b-a|；（2）|x+1|；（3）5；（4）a＜6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了數(shù)軸的有關(guān)知識(shí)，借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問(wèn)題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問(wèn)題．這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問(wèn)題時(shí)可以帶來(lái)方便．事實(shí)上，|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離．